卡尔曼滤波

2021-01-05 09:48:12 浏览:982

定义

一种基于不断更新的观测数据通过线性系统状态方程对系统进行最优估计的方法。

卡尔曼滤波起源自匈牙利数学家卡尔曼,其全名为Rudolf Emil Kalman,卡尔曼滤波器源于他的博士论文和1960年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》。

卡尔曼滤波的一个典型实例是从一组有限的,包含噪声的,对物体位置的观察序列(可能有偏差)预测出物体的位置的坐标及速度。在很多工程应用(如雷达、计算机视觉)中都可以找到它的身影。卡尔曼滤波的本质是一组数学方程,用递归的方式来估计过程的状态(最小化根误差的均值),其的强大之处有以下几点:支持对past, present, 甚至是 future states的估计,即使是在系统精度未知的情况下。

上图即为本系统的一个经典算法,该系统可用一个线性随机微分方程(Linear Stochastic Difference equation)来描述:X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k), 再加上系统的测量值:Z(k)=H X(k)+V(k)。在上两式子中,X(k)是k时刻的系统状态,U(k)是k时刻对系统的控制量。A和B是系统参数,对于多模型系统,他们为矩阵。Z(k)是k时刻的测量值,H是测量系统的参数,对于多测量系统,H为矩阵。W(k)和V(k)分别表示过程和测量的噪声。他们被假设成高斯白噪声(White Gaussian Noise),他们的covariance 分别是Q,R(这里我们假设他们不随系统状态变化而变化)。

首先我们要利用系统的过程模型,来预测下一状态的系统。假设现在的系统状态是k,根据系统的模型,可以基于系统的上一状态而预测出现在状态:

式(1) :X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k)          

式(1)中,X(k|k-1)是利用上一状态预测的结果,X(k-1|k-1)是上一状态最优的结果,U(k)为现在状态的控制量,用P表示covariance:

式(2) : P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A’+Q 

式(2)中,P(k|k-1)是X(k|k-1)对应的covariance,P(k-1|k-1)是X(k-1|k-1)对应covariance,A’表示A的转置矩阵,Q是系统过程的covariance。现在我们有了现在状态的预测结果,然后我们再收集现在状态的测量值。结合预测值和测量值,我们可以得到现在状态(k) 的最优化估算值X(k|k):

式(3) :X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1))  

式(4) :Kg(k)= P(k|k-1) H’ / (H P(k|k-1) H’ + R) 

到现在为止,我们已经得到了k状态下最优的估算值X(k|k)。但是为了要让卡尔曼滤波器不断的运行下去直到系统过程结束,我们还要更新k状态下的X(k|k)的covariance:

式(5) :P(k|k)=(I-Kg(k) H)P(k|k-1) 

以上就是卡尔曼滤波器运算的全过程。卡尔曼滤波的应用领域包括目标跟踪、故障诊断、计量经济学、惯导系统、自动驾驶等方向,而卡尔曼滤波的适用范围有准确已知的线性系统和量测方程且系统噪声和量测噪声为互不相关的零均值高斯白噪声。

参考文献

[1] Links I K F. An Introduction to the Kalman Filter[J]. 1995.
[2] Simon J. Julier, Jeffrey K. Uhlmann. A New Extension of the Kalman Filter to Nonlinear Systems[J]. Proceedings of SPIE - The International Society for Optical Engineering, 1999, 3068:182--193.                          

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