LP模式

2021-03-01 10:38:15 浏览:657

定义

采用弱波导近似时径向对称的折射率分布光纤中的模式。

很多光纤的横向折射率分布为径向对称的,即折射率只与径向坐标r有关,而与方位角坐标φ无关。几乎所有光纤(光子晶体光纤除外)的折射率分布中的折射率差都比较小,因此光纤可以认为是弱导波的。这种情况下,光纤模式的计算得到了极大的简化。得到线偏振的LP模式。

如果考虑强导波情况,需要区分TE和TM模式,这些模式的电场或者磁场是与光纤轴严格垂直的。还有HE和EH的混合模式,其轴向的电场和磁场分量都不为0。例如,这种情况将不能将弱导波条件应用于具有玻璃/空气界面的纳米光纤中得到波导方程。

计算LP模式

在柱面坐标下电场振幅 E(r,φ)的波动方程为:

其中 β为传播常数的虚部。

由于其径向对称性,可以采用假设:

其中l为整数(否则与φ相关的因子不连续)。还可以采用相同的假设只是因子变为sin l φ,或者二者的线性叠加,但是任何情况下都得到径向方程为:

其中n(r)为折射率,且k = 2 π / λ为真空波数。

在给定波长情况下,只有β取一些分立值的情况下,当r趋于无穷时径向方程的解趋于0。只有这种解代表光纤的导模。这些β值对应的导模称为βlm,其中l为方位角指数,指数m从1开始到最大值,l越大,m的最大值越小。一旦l足够大,就无解了。因此可以从1=0开始,找到所有的 β值,然后提高l值重复这一过程知道无解为止。

在阶跃折射率光纤(在光纤纤芯中折射率为常数)中,可以得到纤芯和包层径向方程的分析解。纤芯部分的解与贝塞尔函数Jl(u r)有关,而包层部分的解则表示为修正贝塞尔函数Kl(w r),其中:

以及

纤芯和包层部分的前面因子需要匹配来保证纤芯/包层界面处的连续性。 可以方便看出:

其中NA为数值孔径。

LP模式的性质

阶跃折射率光纤

所有导模的 β值都在纤芯和包层平面波波数之间。β值接近于包层波数的模式具有较小的w参数,导致包层中的径向方程衰减较慢。

还可以计算光纤中的有效折射率,因为它是β值除以真空波数。对于导模,有效折射率指数在纤芯和包层的有效折射率指数之间。

最低阶模式(LP01)的强度分布与高斯光束类似,尤其是V值不是很大的情况下。当m值很大时,得到的径向方程在光纤纤芯中振荡,最后衰减到包层中。图1给出了这种情况下的一个径向方程的例子。其中,包含两个模式,l=0(LP01, LP02),并且l=1和l=2各有一个模式。需要注意,对任意一个非零的l值,可以得到两个线性独立的解,分别与cos l φ和sin l φ相关。考虑到这个,在图1中共包含2 + 2 + 2 = 6 个模式。

图 1 阶跃折射率光纤中模式的径向方程。 

光纤的V值越大,导模数越多。当V小于2.405时,只有一个导模(不考虑偏振方向),因此光纤为单模光纤。V值较大时,模式数正比于V2。图2给出了V值为11.4的阶跃折射率光纤中所有模式的复振幅分布。

在这一例子中,LP52模式接近于截止模式:它只能存在稍微长一点的距离。这种情况下,w参数非常小,于是模场进入包层中。这种模式对弯曲损耗更加敏感。但是,只有l=0的模式的功率在纤芯中传播时,在截止处会消失。

图 2 在阶跃折射率光纤中所有导模的电场振幅分布。两种颜色代表电场值的正负。 

其它折射率分布的光纤

对于任意形状的径向折射率分布情况下,导模都可以看做LP模式来计算,即使折射率形状与阶跃折射率分布相差很远。通常需要采用数值方法解出导模的径向解;包层部分(折射率为常数)仍然可以使用修正贝塞尔函数表述。而纤芯部分,可以从r=0开始,光传播到纤芯/包层界面(例如,采用荣格库塔算法),然后利用边界条件建立与修正贝塞尔函数的关系。通过微小改变 β 值可以最小化界面处微分的不匹配量。需要采用数值方法得到不匹配消失时所有的 β 值。

由于各种技术细节,数值计算需要考虑很多方面。至少需要很高的计算速度,根据每个模式的参数需要确定所需的数值计算步长。在数值求根过程中也适用。

当然,整个方法在非径向对称折射率分布时不能应用,这时需要采用二维数值方法,更加复杂并且需要耗费更多时间。

图3给出了一个计算模式方程的例子。

图 3 具有平滑折射率分布光纤中导模的径向方程,折射率分布受石英光纤纤芯中 GeO2的浓度的影响。 

传播速度和色散

模式的相速度为真空光速除以有效折射率。群速度是β值对角频率微分的倒数。采用数值方法计算群速度时,需要计算一个模式至少在两个波长处的值。为了考虑材料色散,需要采用与波长相关的折射率。

群速度色散是β值对角频率的二阶微分。数值上,需要知道至少三个波长下的β值。注意,当波长间距较小时,需要非常准确计算β值。

优化折射率分布

通过优化光纤的折射率分布,可以提高LP模式的很多参数。例如,可以得到需要的模式尺寸和模式数目,还可以改变群速度和色散。为了最小化模式耦合效应,需要使不同模式的β值不要太接近。灵活的计算光纤模式的软件是优化过程重要的工具。

参考文献

[1] A. W. Snyder and J. D. Love, Optical Waveguide Theory, Chapman and Hall, London (1983) [2]J. A. Buck, Fundamentals of Optical Fibers, Wiley, Hoboken, New Jersey (2004) [3]F. Mitschke, Fiber Optics: Physics and Technology, Springer, Berlin (2010) [4]R. Paschotta, Field Guide to Optical Fiber Technology, SPIE Press, Bellingham, WA (2010)

参阅:光纤、波导、模式、截止波长

作          者: 泮桥成像光电商城

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