定义
一种基于区域的变分图像分割检测算法。
变分图像分割按照曲线演化方式，可以分为两大类，一类是基于边缘的变分图像分割方法，如Snake模型，从目标物体的内部或外部演化曲线，逐渐向目标物体的边缘靠拢。另一类则是基于区域的变分图像分割方法，以Mumford-Shah（M-S）模型为代表，找到图像的一个分片光滑的近似，和去噪有些类似，如下图所示，左图是原始图像，右图为分割结果。
Mumford和Shah在1989年提出了上面这个问题，构造了M-S模型。这个模型是基于相似的区域来分割图像的，是最早的一个基于区域的主动轮廓模型。假设u0是初始图像，我们需要寻找一组图像 ，其中u是u0的“简化版”，K是分割出的边界的集合。构造这样一个能量泛函：
其中Ω是图像域，α和β都是控制权重的常数，
是轮廓集合K的长度。
对于目标图像u，这个泛函要做出这样几项约束：最小化第一项表明u-u0越小越好，表示这个简化后的u和原图像要尽可能接近；最小化第二项表明目标图像u的梯度越小越好，表示这个“简化版”的图像要尽可能由光滑的同质区域组成，边缘少，梯度小；最小化第三项表明分割出的边界K越短越好，分割结果要尽可能简洁。
同时保持能量泛函E（u，k）中的三项会非常难以求解，它包括两个变量：重建图像与边界集合。在这些基于区域的分割方法中，一个经典的改进方法是Ambrosio等人提出的一个近似方程。在这个方程里，模型中的边界集合用一个可以表示边缘的连续函数代替，也就是寻找一个泛函序列 来逼近 ，避免了对泛函E直接离散化求解。
下图为使用这种近似方法的分割结果，展示了初始的网格线一步步演化到灰度值相近区域边缘的全过程。
基于区域的主动轮廓模型的演化过程
参考文献
[1] Mumford D, Shah J. Optimal approximations by piecewise smooth functions and associated variational problems[J]. Communications on pure and applied mathematics, 1989, 42(5): 577-685.
[2] Ambrosio L, Tortorelli V M. Approximation of functional depending on jumps by elliptic functional via t‐convergence[J]. Communications on Pure and Applied Mathematics, 1990, 43(8): 999-1036.
参阅：变分法、Snake模型
