傅里叶变换

2021-01-04 16:25:31 浏览:1208

定义

傅里叶变换在物理学和工程学中常用的一种线性积分变换,在1822年由Joseph Fourier提出,他证明了一些函数可以写成无数个正弦函数和余弦函数的和[1],因此可以实现信号在时域(或空域)和频域之间的变换。根据信号在时域(空域)或频域的特性,可以分为以下几种情况:

  • 当信号在时间上为连续非周期时,对应为连续傅里叶变换;
  • 当信号在时间上为连续周期时,对应为傅里叶级数;
  • 当信号在时间上为离散非周期时,对应为离散时间傅里叶变换;
  • 当信号在时间上为离散周期时,对应为离散傅里叶变换;

其中傅里叶级数变换可以定义为:

其中,an和bn是实频率分量的振幅。整个过程可以如图1所示:

图 1 傅里叶级数变换示意图。

傅里叶变换是对傅里叶级数的扩展,由它表示的函数的周期趋近于无穷。因此一般情况下,若“傅里叶变换”一词不加任何限定语,则指的是“连续傅里叶变换”,其定义式为:

其中,f是一个可积函数,为任意实数。

傅里叶逆定理

傅里叶逆定理提出f可由确定,傅里叶在其1822年出版的著作《热分析理论》中首次引入这个定理。虽然现在标准下的证明直到很久以后才出现。f和 常常被称为傅里叶积分对或傅里叶变换对。表2为常见的傅里叶变换对。

图表 2 常见傅里叶变换对

参考文献

[1] Fourier, J.B. Joseph (1822), Théorie analytique de la chaleur (in French), Paris: Firmin Didot, père et fils, OCLC 2688081.

参阅:正交变换、拉普拉斯变换

信号处理手段

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