傅里叶光学 Fourier optics

2022-11-24 10:01:49 浏览:590

定义

基于横向空间傅里叶变换的光传播描述。

在波动光学中,人们经常应用包括横向空间傅里叶变换的数学方法,因此被称为傅里叶光学方法。 相应的计算通常涉及一维或二维积分,有时可以用纯粹的分析方法完成。 傅里叶方法也广泛用于数值计算。

傅里叶光学的目的本质上是计算和分析光如何在显微镜等光学仪器中传播,同时考虑到其波的性质(与几何光学相反)。 折射和衍射光学都可以用傅里叶光学进行研究。 这种方法大多限于光基本上在一个方向上传播的情况;然而,通常不需要近轴近似(基本上限制了角度范围),并且也可以进行双向传播的某些扩展。 因此,傅里叶光学适用于广泛的实际情况。

傅里叶光学的各种核心结果(其中一些在本介绍性文章中进行了解释)对于更深入地了解光传播非常有用。 此外,在许多情况下,光学方法可以进行准确的定量计算,尤其是在使用数值工具时。

一般原则

一次查看一个波长。

傅里叶光学计算通常用于单色光。 对于具有多色光的应用,通常只需对一组可被视为代表性的光学波长进行相应的计算。

描述具有复杂振幅的光。

单色光通常用复杂的振幅来描述,包含有关电气装置的振幅和相位的信息。 通常,人们使用纯粹的标量波模型,忽略极化等方面。

考虑平面中的光场。

复振幅通常在垂直于系统光轴的平面中考虑。 输入光由某些输入平面中的振幅描述,例如在z= 0处,并且输出可以是在某个较大的z值下得到的振幅分布,例如对应于光学仪器后面的位置。 或者,可以用角度而不是位置作为坐标来计算远场分布。

分解为平面波

特定平面中的光场可以用复振幅A(x,y)来描述,其中光轴上的坐标x和y为零。 例如,这些振幅可以代表电场的x或y分量。 空间傅里叶变换在二维(x和y)中的应用导致傅里叶空间振幅场一个F(νx,νy)哪里νx和νy是横向空间频率,表示每单位长度的振荡周期数。

然后,空间频率可以与波矢量的笛卡尔分量相关联:

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从这些分量中,可以计算出波矢量的z分量:

傅里叶光学 Fourier optics

其中k= 2π/λ是波矢量的大小,与自由空间或各向同性光学材料中的传播方向无关。

我们取了一个正信号,假设光在正z方向上传播。 此外,人们通常假设空间频率足够小,以至于平方根下的项为正。 否则,将获得一个虚波矢量分量,描述指数上升或衰减的振幅,例如获得倏逝波。

从本质上讲,空间傅里叶变换将光场分解为平面波,平面波具有连续的传播方向光谱,但根据所选波长,它们都具有相同的幅度。

自由空间传递函数

光在自由空间中的传播很容易描述,因为傅里叶变换提供了平面波的叠加,而这些是自由空间的模式。 (在具有一定折射率的均匀光学介质中的传播也是如此;人们可以做同样的计算,取介质中的波长而不是真空波长。 对于传播距离d,每个平面波的相移很简单kzZ。(一些作者使用相反的符号约定,导致以下所有相项也使用相反的符号。 因此,传播距离d的自由空间传递函数为:

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虽然这在数值计算中很容易处理,但对于分析计算,通常需要应用近似值以获得更简单的项。 人们经常将菲涅耳近似与基本假设一起应用

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并获得(大约)

傅里叶光学 Fourier optics

如果常量项与应用程序无关,则通常会忽略它。

在一定传播距离后,计算得到的振幅很简单:

  • 对振幅应用空间傅里叶变换。
  • 将结果与给定的传递函数相乘。
  • 如果在实际空间中需要结果,请应用逆空间傅里叶变换。

在简单的情况下,这可以通过分析手段来完成,有时会导致许多教科书中发现的相当简单的方程。

光学元件的影响

光学元件的影响通常可以描述为(经过一些简化)振幅与空间相关的实数或复数因子的乘法:

  • 硬孔径可以用传输函数定义t美联社(x,y)只有值 0 和 1。 对于软光圈,函数值可以连续变化。
  • 同样,可以处理具有增益的情况,例如在激光增益介质中。
  • 薄透镜可以用复杂的相位因子来描述,该相位因子与光轴距离的平方成比例变化(忽略恒定的偏移以及透镜的有限尺寸):
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  • 衍射光栅用周期性变化的相因子来描述。 全息光栅可能存在近似正弦振荡,规则光栅可能存在更复杂的振荡函数(具有多个谐波)。

同样,分析解决方案已知适用于某些简单情况,至少对于远场(见下文)——例如用于计算单个或多个狭缝或圆形孔径的衍射图案。

为了计算介于空气空间之间的一系列光学元件的效果,可以逐步进行传播,根据需要应用空间傅里叶变换在实空间和傅里叶空间之间切换。 只是,人们可能很快就会离开有分析解决方案的区域。

远场

有时,人们对远场感兴趣,即在大传播距离后的光场中,其中角强度分布保持大致恒定。 角场分布可以很容易地从傅里叶变换的空间场分布中计算出来;只需要适当地缩放角度即可获得相应的空间频率:

傅里叶光学 Fourier optics

通过取这些振幅的平方模数,可以得到远场强度分布。

因此,没有必要将场传播到很远的距离上近似远场;相反,人们可以简单地计算傅里叶变换的振幅场,并从中计算远场。 例如,上述结果可以使用弗劳恩霍夫近似来证明。

傅里叶平面

另一个有趣的发现是,假设如上所述的二次相位轮廓,在薄透镜之后的一个焦距距离内(即在后焦平面中),人们可以获得所谓的傅立叶平面。 该平面中的每个位置对应于输入场(在镜头之前)的特定空间频率,更准确地说,对应于νx和νy。

如上所述,由于空间傅里叶变换揭示了远场分布,很明显,通过使用透镜可以在不应用大传播距离的情况下揭示该图案。

通过将光学孔径放置在傅里叶平面上,可以有效地调制空间频谱。 例如,对于以光轴为中心的圆形孔径,可以实现低通滤波器,仅传输具有足够低空间频率的组件。 (这是某些模式清理器的工作原理。 使用第二个镜头,人们可以变回现实空间。

请注意,镜头的有限尺寸也会引入光圈,因此会引入一些低通滤波。 例如,这就是限制显微镜物镜空间分辨率的原因。 因此,严格意义上的傅里叶平面不能用有限尺寸的透镜实现:每个空间频率分量在焦平面上产生一个有限尺寸的光斑。 另一方面,如果输入光束被限制在较小的空间区域,则有限尺寸在实践中无关紧要。

数值光束传播

从概念上讲,实现基于傅里叶光学的数值光束传播算法相对简单:

  • 平面中的每个场分布都由一个规则的场振幅数组表示,这些振幅应该覆盖足够大的区域(有点超出可以发生重要场的区域)。 此外,网格点的间距应足够小,以提供所需的空间分辨率。 请注意,空间分辨率与空间频率或传播角度的可能范围直接相关。
  • 可以应用二维快速傅立叶变换(FFT)算法进行高效计算。 如果每个方向上的格网点数为 2 的幂,则此方法效果最佳。
  • 两个光学元件之间的空气空间只需一个傅里叶变换和逆变换即可桥接,无论间距有多大。 仅当中间位置的场分布感兴趣时,才需要使用额外的傅里叶变换。

在需要通过非均匀项目传播场的情况下,会出现额外的困难。 例如,对于光纤中的光传播,需要考虑光纤芯周围的折射率分布,甚至可能考虑光纤包层的年龄。 对于这种情况,可以应用分步傅里叶技术,其中交替模拟衍射(在傅里叶空间中)和折射率分布(在真实空间中)的影响。 高数值精度需要选择足够小的步长。 对于步长距离传播,计算时间可能很长,尤其是在所需的幅度网格很大的情况下。 因此,人们有时会应用额外的技巧,允许人们强烈限制覆盖的空间区域。

可以研究超短脉冲传播,特别是在线性状态下。 在这里,需要对脉冲的许多波长分量执行傅里叶光学计算。 结果可以组合在一起来描述整个脉冲的传播。 然而,这样的计算很快就会变得相当耗费时间和内存。

基础光学

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